对应学生书P571
1．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为 (α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为__________．
解析：∵y＝ρsinθ，
∴直线l的直角坐标方程为y＝1.
得x2＋(y－1)2＝1.由
由 得
或
故直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1).
答案：(－1,1)，(1,1)
2．(2011·沈阳市质量)已知直线l 的参数方程为：程为：ρ2cos2θ＝1.
(1)求曲线C 的普通方程；
(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．
(t为参数)，曲线C的极坐标方
解析：(1)由曲线C：ρ2cos2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化成普通方程为x2－y2＝1.①(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程为(t 为参数)，②
把②代入①，得 | 2－ | 2＝1， |
整理，得t2－4t－6＝0，
设其两根为t1、t2，则t1＋t2＝4，t1·t2＝－6.
从而弦长为|t1－t2|＝ | ＝ | ＝ | ＝2 | . |
方法二：把直线l 的参数方程化为普通方程为y＝ | (x－2)， | |||
代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.
设l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1·x2＝ | ， | (t 为参数)，圆C2： | (θ 为参数)． | ||
故|AB|＝ | · | ||||
＝2 | ＝2 | . | |||
3．(2010·课标全国卷)已知直线C1： | |||||
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹
的参数方程，并指出它是什么曲线．
解析：(1)当α＝时，C1的普通方程为
y＝ (x－1)，
C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组 [
解得C1与C2的交点坐标为(1,0)， .
(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.
A点坐标为(sin2α，－cosαsinα)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为
2＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为 ，半径为的圆.]
4．(2010·辽宁)已知P为半圆C： (θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为
(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解析：(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为
.
(2)点M 的直角坐标为(t 为参数)．
，A(1,0)，故直线AM的参数方程为
5．(2010·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (t 为参数)．在极坐标
系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，
圆C 的方程为ρ＝2 sinθ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A，B.若点P 的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
解析：方法一：(1)由ρ＝2 sinθ，得x2＋y2－2 y＝0，即x2＋(y－ )2＝5.
(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得 2＋ 2＝5，
即t2－3 t＋4＝0.
由于Δ＝(3 )2－4×4＝2＞0，
故可设t1、t2 是上述方程的两实根，于是有
[
又直线l 过点P(3，)，
故由上式及t 的几何意义，得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 .
方法二：(1)同方法一．
(2)因为圆C 的圆心为点(0， )，半径r＝ ，直线l 的普通方程为y＝－x＋3＋ .
由 得x2－3x＋2＝0，
解得或
不妨设A(1,2＋ )，B(2,1＋ )，又点P 的坐标为(3， )，
故|PA|＋|PB|＝ ＋ ＝3 .
6．已知直线 (t 为参数)与圆x2＋y2＝4 交于A、B 两点，求此两点到点C(4,3)的距
离之积以及线段AB 的长．
解析：所给的方程不是过点(4,3)的直线参数方程的标准形式．
∵cos2θ＋sin2θ＝ | 2＋ | 2≠1， |
设2t＝t′，所给的直线方程为
(t′为参数)，
由于 | 2＋ | 2＝1， |
所以上述方程为过(4,3)的直线的参数方程．
把它代入圆方程，整理，得
t′2＋ t′＋21＝0.
∵t′1·t′2＝21，∴|CB|·|CA|＝21.[
|AB|＝|t′1－t′2|＝ ＝
＝ ＝ .
因此A，B两点到C的距离之积为21，|AB|＝ .
7．(2009·福建)已知直线l：3x＋4y－12＝0 与圆C：共点个数．
解析：圆的方程可化为
(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
其圆心为C(－1,2)，半径为2.
由于圆心到直线l 的距离
d＝ ＝＜2，
故直线l 与圆C 的公共点个数为2.
(θ为参数)，试判断它们的公
8．已知直线l 的参数方程为 | (t 为参数，α 为倾斜角，且α≠)，且与曲线 | ＋ | ＝ |
1 交于A、B 两点．
(1)写出直线l 的一般程及直线l 通过的定点P 的坐标；(2)求|PA|·|PB|的最大值.
解析：(1)∵
，
∴ | ＝ | ＝tanα. |
∴直线l的一般方程为
xtanα－y－3tanα＝0.
直线l通过的定点P的坐标为(2,0)．
(2)∵l的参数方程为
椭圆方程为 | ＋ | ＝1，右焦点坐标为 |
P(2,0)．
∴3(2＋tcosα)2＋4(tsinα)2－48＝0.
即(3＋sin2α)t2＋12cosα·t－36＝0.
∵直线l过椭圆的右焦点，
∴直线l与椭圆恒有两个交点．
∴|PA|·|PB|＝ .
∵0≤α＜π，且α≠，
∴0≤sin2α＜1.
∴|PA|·|PB|的最大值为12.