黑体辐射普朗克公式推导
黑体普朗克公式推导
1．空腔内的光波模式数
在一个由边界的空间V内，只能存在一系列的具有特定波矢k的平面单色驻波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k为标志。
设空腔为立方体，如下图
x
图1立方体空腔
沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是
???x=mλ
?2
???y=nλ
?2
????z=qλ
2
式中m、n、q为正整数。
将k2π
x=λ代入(1)式中，有
x
kmπ
x=?x
则在x方向上，相邻两个光波矢量的间隔为：?kx=mπ
?x-(m-1)π
?x=π
?x
同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：
1(1)
?π?k=?x?x?π? ??ky=(2) ?y??π?k=?z?z?
因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为
?kx?ky?kz=π3
?x?y?z=π3
V
(3)
y
kx
图2波矢空间
在波矢空间中，处于k和dk之间的波矢kk为半径、dk为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为
434πk-π(k-dk)3=4πk2dk (4)33式中k=k、dk=dk。
根据(1)式的驻波条件，k的三个分量只能取正值，因此dk和dk之间
的、可以存在于V中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以
4πk2dkπk2dk=Vk=
(5)82
由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为
Vkk2dk=V(6)
M=23π/Vπ2
2
式中乘以2是因为每个光波矢量k都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。由于k=2π
λ，dk=2π
λ2dλ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V的空腔内，波 长λ+dλ间隔的光波模式数为：
M=
2．黑体辐射公式
黑体辐射是黑体温度T和辐射场波长λ的函数。可用单色能量密度ρλ来描述，其定义为：在单位体积内，波长λ附近的单位波长间隔中的电
磁辐射能量，量纲为J?m-4。
根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律，在温度T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为8πVλ4dλ
(7)
h
E=
因此单色能量密度为
ρλ=c-1ehc/KλT (9) Vdλλe-1
(8)M8πhc1E=5hc/KλT
即如在空腔上有一单位面积的开口，则在单位时间，半球空间辐射到
此单位面积的能量为cρλ附录1。 4
按照(9)式，从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为
c2πhc21 | P=ρλ= | (10) |
4λ5ehc/KλT-1
这就是温度T 的黑体的光谱辐出度公式。
附录1
对于作用在如图1 的空腔表面的驻波，设垂直于面积A，且立体角为dΩ的方向上，光通量（单位时间通过的波的能量）为I 和-I，如图3。
3
A
图3
设光速为c，光运动单位距离的时间为1/c，则在立体角内的光能密度（单位体积的光能量）P 为
P=2I (1) cA
在谐振腔内，光辐射强度是各向同性的，因此对与面积A 法线夹角为θ的入射光，光通量仍为I，而该方向的通量为
Iθ=IAcosθ=Icosθ (2) A
因此在整个2π半球空间，一个小面积上通过的光通量如图4图4作用在一个小面积上的所有方向的光辐射
则在面积A上的总光通量为
4
将(1)代入有M=?=Iπ2π0?π/20Icosθsinθdθdφ
M=Iπ=cAPπ (3)2
因为腔内各方向的辐射是均匀分布的，所以任意方向立体角dΩ的能量密度P与腔内的总能量密度ρ的关系为
P=
代入(3)得ρ | (5) A4 | (4) 2π |
Mc=ρ |
c即如在空腔上有一开口，则在单位时间，单位面积辐射到半球空间的能量为ρ。4
5