1-2命题及其关系、充分条件与必要条件
对应学生书P195
一、选择题
1．(2008·广东)命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是()
A．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数
解析：“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在定义域内是减函数，则loga2＜0”其条件的
否定是“在定义域内不是减函数”，结论的否定是loga2≥0.
答案：B
2．(2011·山东质检)有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a＞0，则a＋c＞b＋c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有()
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．
答案：B
3．(2010·石家庄市二模)已知命题p、q，“非p为假命题”是“p或q是真命题”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵非p为假命题，∴p为真命题，从而“p或q”为真命题；反之，若“p或q
为真命题”，则可能q为真命题，p为假命题，从而非p为真命题．
答案：A
4．(2009·陕西)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：把椭圆方程化成＋＝1.
若m＞n＞0，则＞＞0，所以椭圆的焦点在y轴上．
1
反之，若椭圆的焦点在y轴上，则＞＞0，即有m＞n＞0.
答案：C
5．(2009·福建)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()
A．m∥β，且l1∥α B．m∥l1，且n∥l2
C．m∥β，且n∥β
D．m∥β，且n∥l2 解析：∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，α∥β.而当α∥β时不
一定推出m∥l1，且n∥l2.
答案：B[来]
6．(2011·海口模拟)已知集合A＝{x∈R|＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B
成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是() A．m≥2 B．m≤2
C．m＞2 D．－2＜m＜2
解析：A＝{x∈R|＜2x＜8}＝{x|－1＜x＜3}
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴A?B，∴m＋1＞3，即m＞2.
答案：C
二、填空题
7．给出命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b，且c≠d，则a＋c≠b＋d.”对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题的个数为__________．
解析：a≠b，且c≠d，可以推出a＋c＝b＋d，从而原命题、逆否命题均不成立；又若a
＝b，或c＝d，则a＋c＝b＋d不一定成立，从而逆命题、否命题均不成立．
答案：0
8．若e1、e2是不共线的两个向量，a＝e1＋ke2，b＝ke1＋e2，则a∥b的充要条件是实数k＝__________.
解析：a＝λb， ?k2＝1?k2＝±1.
答案：±1
9．给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；
2
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是__________．
解析：①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，∴①是真命题．
②否命题：“若a≤b，则a＋c≤b＋c”是真命题．
③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题.
答案：①②④
三、解答题
10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(1)写出否命题，判定真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判定真假，并证明你的结论.
解析：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R.
若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
否命题为真命题，证明如下：
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，故否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R.
若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.
该逆否命题为真命题，证明如下：
对于原命题：
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题.
11．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
3
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围.
解析：(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，
∴ ∴
∴这样的m不存在．
(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S?P.
∴ ∴m≤3.[
综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.
12．求证：关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个实根均大于1的充要条件是k＜－2.
证明：必要性：
设f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2.
∵方程f(x)＝0的两实根均大于1，
∴
即 ∴k＜－2.
∴方程两实根均大于1的必要条件为k＜－2.
充分性：
当k＜－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝－4k＋1＞0，
∴方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个实根，
设两实根分别为x1，x2，m]
则(x1－1)＋(x2－1)＝x1＋x2－2＝－2k－1＞0，
(x1－1)·(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k＞0，
∴x1－1＞0，x2－1＞0，∴x1＞1，x2＞1.
综上知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两实根均大于1的充要条件是k＜－2.
自助餐·选做题
1．已知a1、a2、b1、b2均为非零实数，集合A＝{x|a1x＋b1＞0}，B＝{x|a2x＋b2＞0}，
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则“ | ＝ | ”是“A＝B”的() |
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当＝ 时不一定有A＝B，但当A＝B 时定有 ＝ .因为当a1＝1，b1＝－1，a2
＝－1，b2＝1 时，虽有 ＝ ，但这时A＝{x|a1x＋b1＞0}＝(1，＋∞)，而B＝{x|a2x＋b2＞0}
＝(－∞，1)，显然A＝B 不成立．所以前者是后者的必要而不充分条件．
答案：B
2．已知在xOy 平面内有一区域M，命题甲：点(a，b)∈{(x，y)||x|＋|y|＜1}；命题乙：
点(a，b)∈M.如果甲是乙的必要条件，那么区域M 的面积有()
A．最小值2 B．最大值2
C．最小值1 D．最大值1
解析：设A＝{(x，y)||x|＋|y|＜1}，B＝{(x，y)|(x，y)∈M}，由于甲是乙的必要条件，所
以A?B，即区域M 的面积不大于{(x，y)||x|＋|y|＜1}的面积，而区域{(x，y)||x|＋|y|＜1}的面
积等于2，所以区域M 的面积有最大值2.
答案：B
3．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1 的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是
()
A．－＜a＜－ B．－1＜a＜－
C．－＜a＜－ D．－2＜a＜0
解析：∵f′(x)＝a(x＋2)(x－1)，
∴函数f(x)在x＝－2 和x＝1 处取得极值，如图所示，
要函数f(x)的图像经过四个象限的充要条件是f(－2)·f(1)＜0，解之得－＜a＜－ .
在四个选项中只有 ? .
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答案：B
4．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，≤x≤2}，B＝{x|x＋m2≥1}；命题p：x∈A，命题
q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
解析：化简集合A，
y＝x2－x＋1＝ 2＋ ，
∵x∈，∴ymin＝，ymax＝2.
∴y∈，∴A＝{y| ≤y≤2}．
化简集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵命题p是命题q的充分条件，∴A?B.
∴1－m2≤ | ，∴m≥或m≤－. | 或 | . |
∴实数m 的取值范围是 | |||
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