课题：第十三讲函数的综合应用 教学目标：
1.能利用函数的图象确定方程的解和不等式（组）的解集.
2．理解函数与方程、不等式之间的关系.
教学重点与难点：
重点：能利用函数图像确定方程（组）、不等式（组）的解.
、不等式（组）之间的关系.难点：理解应用函数图像与方程（组）
课前准备：多媒体课件．
教学过程:
一、明确考试要求
函数是贯穿初中数学的一条主线.函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了从一般到特殊的观念，也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系.这节课我们就来研究这三者之间的综合应用.
板书课题：第十三讲函数的综合应用
首先我们来了解一下考试要求：（课件出示）
1.能利用函数的图象确定方程的解和不等式（组）的解集.
2．理解函数与方程、不等式之间的关系.
处理方式：学生齐读考试要求，明确学习目标.
设计意图：让学生知道函数与方程、不等式之间的内在联系．学生齐读考试要求，明确学习目标，为这节课的学习指明方向．
二、知识梳理
下面我们结合相关题型来梳理一下知识点（课件展示）知识点（一）：函数与方程的关系
(1)一次函数与一元一次方程的关系:
1.(1)一次函数 | y | ? | 2 | x | ? | 1 | 的图像与x 轴﹙y=0﹚的交点坐标是_____. | y | ? | 0 | |||||||||
(2)一次函数 | y | ? | 2 | x | ? | 1 | 的图像与直线 | y ? | 6 | 的交点坐标是_____ . | |||||||||
对于给定的y 值，一次函数 | y | ? | kx | ? | b | ，可转化为_____ 方程. 特别地，当 | |||||||||||||
时，方程的解是_____ 坐标.
（答案：一元一次方程，一次函数图像与x轴的交点的横坐标.）
1
(2)一次函数与二元一次方程(组)的关系：
2.以方程 | 2 | x | ?y | ? | 5 | 的解为坐标，所有点组成的图像是直线（ ） | |||||||||||||||||||||||||||
A. | y | ? | 3 | x | ? | 5 | B. | y | ? | 2 | x | ? | 5 | C. | y | ? | 2 | x | ? | 5 | D. | y | ? | 2 | x | ? | 5 | ||||||
| | 2 | | 3 | | | | | 3 | | | 3 | | | | 3 | | | 3 | ||||||||||||||
3.已知一次函数 | y | ? | 2 ? | 1 | 与 | y | ?x 3 ? | 2 | 的图像交于点p.则点p 的坐标为（ ） | ||||||||||||||||||||||||
A.(-7,-3) B.(3,-7) C.(-3,-7) D.(-3,7)
因为二元一次方程有无数个解，以这无数个解为坐标的点组成的图像是一条直线，而这
条直线的关系式是方程的变形式.
二元一次方程的解 一次函数图像上点的坐标
二元一次方程组的解 对应的一次函数图象的交点坐标
(3)二次函数与一元二次方程的关系：
4.（2013?苏州）已知二次函数y?x2?3x?m（m为常数）的图象与x轴的一个交点
为（1，0），则关于x的一元二次方程x2?3x?m?0的两实数根是（ ）
A．x1?1, x2??1 B．x1?1, x2?2 C．x1?1, x2?0 D．x1?1, x2?3
一元二次方程ax2?bx?c?0的解就是二次函数y?ax2?bx?c与x轴交点
的 ；
一元二次方程 | ax | 2 | ? | bx | ? | c | ? | k | 的解就是二次函数 | y | ? | ax | 2 | ? | bx | ? | c | 与直线 | y ? | k | 的交 |
点的 ；
知识点（二）：函数与不等式的关系
5.二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是
（D）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞3
6.如图是二次函数y1=ax?+bx+c和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围
是 。
方法引领：
明确函数与不等式的内在联系，观察图象时，特别注意图象与x轴的交点及两图象的
交点，做到数形结合方能正确解题.
2
处理方式：学生思考并解决问题，在此基础上师生共同交流总结相关知识，让学生回顾起方程（组）、不等式与函数的综合知识.
设计意图：通过问题解决、师生交流总结，让学生回顾方程（组）、不等式与函数的综合知识，唤醒学生遗忘的基础知识，通过题组的引领，激活课堂,抓牢双基．
三、典例分析
下面我们通过一些典型例题来进一步巩固这些知识点.
例1（2014凉山州）下列图形中阴影部分的面积相等的是( )
A．②③ B．③④ C．①② D．①④
点拨：首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而求得各个阴影部分的面积，进而可比较出各阴影部分面积的大小关系.
答案:A | c | （a，b，c 是常数， |
| ||||||||||||||
例2（2014 贺州）已知二次函数 | y | ? | ax | 2 | ? | bx | ? | ||||||||||
且a≠0）的图象如图所示，则一次函数 | y | ? | cx | ? | b | 与反比例函数 | |||||||||||
2 | a |
| |||||||||||||||
y | ? | ab | 在同一坐标系内的大致图象是（ ） | ||||||||||||||
| | x |
| ||||||||||||||
A. | B. | C. | D. |
点拨：先根据二次函数的图象得到a﹥0,b﹥0,c﹤0，再根据一次函数图象与系数的关系及反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置.
答案：D
例3 二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1, | 1 | ）； |
| 4 | |
3
点F（0，1）在y 轴上．直线y=﹣1 与y 轴交于点H． |
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
点拨：（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式.
（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，∠PFM=∠PMF，结合平行线的性质，可得出结论.
（3）首先可得∠FMH=30°，设点P 的坐标为（x， | 1 | 2 |
的方程，求出x 的值即可得出答案．
解：（1）∵二次函数图象的顶点在原点O，
∴设二次函数的解析式为 | y | ? | ax | 2 | . | |||||||||||||||
将点A（1， | 1 | ）代入 | y | ? | ax | 2 | 得： | a ? | 1 | ， | ||||||||||
4 | 4 | |||||||||||||||||||
∴二次函数的解析式为 | y | ? | 1 | x | 2 | . | ||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||
（2）证明：∵点P 在抛物线 | y | ? | 1 | x | 2 | 上， | ||||||||||||||
4 | | |||||||||||||||||||
∴可设点P 的坐标为 | ( , | 1 | x | 2 | ) | ， | ||||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||
∵PM⊥直线y=﹣1，∴ | PM | ? | 1 | x | 2 | ? | 1 | . | ||||||||||||
4 | ||||||||||||||||||||
过点P 作PB⊥y 轴于点B，
则 | BF | ? | 1 | x | 2 | ? | 1, | PB | ? | x | ， |
| | | 4 | |
| | | | | | |
∴Rt△BPF 中，
PF | ? | ( | 1 | x | 2 | ? | 1) | 2 | ? | x | 2 | ? | 1 | x | 2 | ? | 1 | . |
4 | 4 |
∴PF=PM. ∴∠PFM=∠PMF.
又∵PM⊥x 轴，即PM∥y 轴，∴∠MFH=∠PMF.
∴∠PFM=∠MFH, ∴FM 平分∠OFP.
），根据PF=PM=FM，可得关于x
（3）∵当△FPM 是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°.
4
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4.
∵PF=PM=FM，∴ | 1 | 4 | ，解得： | x ??2 3 | . | | ||||||||
∴ | 1 | x ? | 1 12 | ? | 3 | . | ||||||||
4 | | 4 | | ． | ||||||||||
∴满足条件的点P 的坐标为 | (2 3,3) | 或 | ( 2 3,3) | |||||||||||
处理方式：学生先思考并尝试解决问题，之后小组交流,在此基础上学生尝试写出
解题过程,最后多媒体出示完整规范的解题过程.
设计意图：选用一些经典例题帮助学生学会分析解题思路，夯实一些重要的知识点，提高学生综合应用知识的能力.同时及时了解学生掌握知识的情况，以便采取有效的弥补措施.
四、回顾反思，提炼升华
通过本节课的学习，你都掌握了哪些数学知识，运用了哪些数学思想方法？你还有什么疑难问题吗？
(学生先思考，小组交流然后由学生口答)
我掌握的知识有…
运用的思想方法有…
我的疑惑是…
设计意图：谈谈本节得与失，与同学交流的过程中，增强与他人合作的意识，养成勤于思考、善于总结的良好习惯.让学生体验交流的快乐，感受成功的喜悦.使学生对本节内容有一个更系统、更深刻的认识，提高学生自主建构知识，解决实际问题的能力，达到触类旁通.
五、达标检测，反馈提高
通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）
A组：
1.(2014 年贵州)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014
的值为（ ）
A．2012 B．2013 | y | ? | C．2014 D．2015 | 1 | 的图象与x 轴只有一个交点，那么m | |||||||||||
2. (2014 山东东营)若函数 | mx | 2 | ? | | m | ? | 2) | x | ? | 1 | m | ? | ||||
| | | | | | | | | | | | 2 | | | | |
的值为（ ）
A．0 | B．0 或2 | C．2 或﹣2 | D．0，2 或﹣2 | | ||||||||
3.(2014 咸阳) 如图，双曲线 | y | ? | m | 与直线 | y | ? | kx | ? | b | | ||
| | x | | | | |
| 5 | ||||
交于点M、N，并且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵 | ||||||||||||
坐标为－1．根据图象信息可得关于x 的方程m x? | kx | ? | b |
的解为（ ）
A．－3，1 B．－3，3 C．－1，1 D．－1，3
B组：
4. (2013·德州)函数y＝x2＋bx＋c 与y＝x 的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c>0；② |
b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1<x<3时，x2＋(b－1)x＋c<0.其中正确的个数是
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5.（2014 安徽省）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从A 点出发，按A→B→C 的方
向在AB 和BC 上移动，记PA=x，点D 到直线PA 的距离为y，则y 关于x 的函数图像大
致是（ ）
第5题图
【答案】D、D、A、B、B .
处理方式：学生用１2 分钟左右时间完成，然后师生反馈矫正．对于出错较多的题目重点讲解．
设计意图:利用检测题让学生巩固本专题的知识，并让学生掌握突破难点的方法与技巧，达到熟练应用知识的目的.同时培养学生快速准确解答问题的习惯,提高解题能力和技巧.
六、布置作业，课堂延伸
必做题：新课程复习指导：P66-67 第1——9 题
选做题：新课程复习指导：P68 第10、11 题
设计意图：作业的设计突出层次性，让学生都有所得、有所获，让不同层次的学生享受成功的喜悦.可更好地调动不同学生的学习热情，另一方面巩固了本课所学的知识，同时也了解了学生对本课知识的掌握情况.为后续的教学做准备．
七.板书设计
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第十三讲 函数的综合应用 | ||
知识梳理： (一)函数与方程的关系 (二) 函数与不等式的 关系 | 典型例题： | 板演区： |
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