对应学生书P299
一、选择题
1．(2011·浙江温州十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线 | － | ＝1(a＞0，b＞ |
0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的一条切线(切点为T)交双曲线的右支于点P，若M为FP的中点，则|OM|－|MT|等于()
A．b－a B．a－b
C. D．a＋b
解析：如图，F′是双曲线的右焦点，由双曲线的定义得，|PF|－|PF′|＝2a.又M为PF的中点，∴|MF|－|OM|＝a，即|OM|＝|MF|－a.
又直线PF与圆相切，
∴|FT|＝ ＝b，
∴|OM|－|MT|＝|MF|－a－(|MF|－|FT|)＝|FT|－a＝b－a，故选A.
答案：A
2．(2011·合肥一中模拟)已知双曲线 | － | ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为4x－3y |
＝0，则此双曲线的离心率为()
A. | － | B. |
C. | D. | |
解析：因为双曲线 | ＝1 的一条渐近线的方程为4x－3y＝0，所以＝，故双曲线 |
的离心率e＝＝ ＝.
答案：D
3．(2011·广州一中月考)过双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直
线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若 ＝ ，则双曲线的离心率是()
A. B.]
C. D.
解析：过点A(a,0)的直线的方程为y＝－x＋a，则易求得该直线与双曲线的渐近线y＝±
x 的交点B、C 的坐标为B | ＝ | . | 、C | ，由 | ＝ | 得b＝2a，所以双 |
曲线的离心率e＝＝ |
答案：C
4．(2010·山东济宁期末)已知点F 是双曲线 | － | ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E 是该 |
双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是直角三
角形，则该双曲线的离心率是()
A. B．2
C．1＋ D．2＋
解析：将x＝－c代入双曲线方程得交点为 .
由△ABE是直角三角形得 ＝a＋c，
即a2＋ac＝b2＝c2－a2，整理得c2－ac－2a2＝0.
∴e2－e－2＝0，解得e＝2(－1舍去)．
答案：B
5．(2011·广东深圳模拟)已知双曲线的两个焦点为F1(－ ，0)、F2( ，0)，M是此
双曲线上的一点，且满足 · ＝0，| |·| |＝2，则该双曲线的方程是()
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：设双曲线方程为－ ＝1，且M为右支上一点，
由已知| | |－| | |＝2a， | |＝4a2. | ||
∴| | |2＋| | |2－2| | || | ||
又∵ | · | ＝0，∴ | ⊥ | . | |
∴4c2－4＝4a2，即b2＝1.
又∵c＝，∴a2＝9.
∴双曲线方程为－y2＝1.
答案：A
6．(2011·厦门模拟)设P是双曲线 －＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y
＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于()
A．1或5 B．6
C．7 D．9
解析：由于双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，
即－＝0，∴a2＝4，
又4＞3，∴|PF2|－|PF1|＝4，
∴|PF2|＝4＋3＝7.
答案：C
二、填空题
7．(2011·上海张堰中学模拟)若m＞0，点P
双曲线左焦点的距离为__________．
在双曲线－＝1上，则点P到该
解析：P在双曲线－＝1 上，且m＞0，代入双曲线方程解得m＝3，双曲线
左焦点F1(－3,0), 故|PF1|＝ ＝ .
答案：
8．(2011·山东泰安模拟)P 为双曲线x2－ ＝1 右支上一点，M、N 分别是圆(x＋4)2＋y2
＝4 和(x－4)2＋y2＝1 上的点，则|PM|－|PN|的最大值为__________．
解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－ ＝1的两焦点．
当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|＝|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.
答案：5
9．已知点P 是双曲线 | － | ＝1 上除顶点外的任意一点，F1、F2 分别为左、右焦点，c |
为半焦距，△PF1F2内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|＝__________.解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，
|F1M|－|F2M|＝|PF1|－|PF2|＝2a，
又|F1M|＋|F2M|＝2c，解得|F1M|＝a＋c，|F2M|＝c－a，
从而|F1M|·|F2M|＝c2－a2＝b2.
答案：b2
三、解答题
10．(2011·江苏启东中学模拟)已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点．
(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值．
解析：(1)设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，
该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0.
点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是 | ＝. | 和 | ， | ||
它们的乘积是 | · | ＝ | |||
点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．(2)设点P的坐标为(x，y)，则
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝ 2＋，
∵|x|≥2，
∴当x＝ | 时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为 | . |
11．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为( ，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
解析：(1)设双曲线方程为 | － | ＝1(a＞0，b＞0)． | |
由已知得a＝ | ，c＝2. | ||
又a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立 整理得
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
可得m2＞3k2－1且k2≠.①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)．
则x1＋x2＝ | ，x0＝ | ＝ | ， |
y0＝kx0＋m＝ | . |
由题意，AB⊥MN，
∵kAB＝ ＝－(k≠0，m≠0)．
整理得3k2＝4m＋1，②
将②代入①，得m2－4m＞0，
∴m＜0或m＞4.
又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－.
∴m的取值范围是∪(4，＋∞).
12．(2011·山东日照模拟)已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线
以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.
(1)求椭圆及双曲线的方程；
(2)设椭圆的左、右焦点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭
圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若 ＝，求四边形ANBM的面积.
解析：(1)设椭圆方程为＋ ＝1(a＞b＞0)，则根据题意，双曲线的方程为 － ＝1且
满足
解方程组得
∴椭圆的方程为 ＋＝1，双曲线的方程为－＝1.
(2)由(1)得A(－5,0)，B(5,0)，|AB|＝10，
设M(x0，y0)，则由 | ＝ | 得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x0－5,2y0)． |
将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得
消去y0，得2x02－5x0－25＝0.
解之，得x0＝－或x0＝5(舍去)．
所以y0＝ .由此可得M ，
所以P(－10,3)．
当P为(－10,3 )时，直线PA的方程是y＝(x＋5)，
即y＝－ (x＋5)，代入 ＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0.所以x＝－或－5(舍去)．
所以xN＝－，xN＝xM，MN⊥x轴．
所以S 四边形AMBN＝2S△AMB＝2×10× | × ＝15 | . |
自助餐·选做题
1．已知双曲线的两个焦点为F1(－ | ，0)、F2( | ，0)，M 是此双曲线上的一点，且 |
满足· ＝0，| |·| |＝2，则该双曲线的方程是()
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：∵· ＝0，∴ ⊥，∴MF1⊥MF2，
∴|MF1|2＋|MF2|2＝40，
∴(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36，
∴||MF1|－|MF2||＝6＝2a，a＝3，
又c＝ ，∴b2＝c2－a2＝1，
∴双曲线方程为－y2＝1.
答案：A
2．(2011·西安调研)过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有()
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．
答案：C
3．(2011·广州模拟)已知点F 是双曲线 | － | ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E 是该双曲 |
线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，
则该双曲线的离心率e的取值范围是()
A．(1，＋∞) | B．(1,2) | ) | |
C．(1,1＋ | ) | D．(2,1＋ | |
解析：如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE
为等腰三角形，从而只需满足∠AEF＜45°.
又当x＝－c 时，y＝ | ， | ＜1， | |
∴tan∠AEF＝ | ＝ | ||
∴e2－e－2＜0，
又e＞1，∴1＜e＜2.
答案：B
4．(2010·德州模拟)P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4
和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为__________．
解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2
＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝
|PF1|－|PF2|＋3＝5.
答案：5