中考数学中的最值计算问题
在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最值问题”。多年来，全国各市地初三毕业、升学
考数学试题中屡屡出现求最值问题。虽然同学们熟悉这个概念，但一些学生解题时都感到束手无策。
一、有关函数方面的最值问题
在初中阶段，我们要求掌握的有4种不同的函数类型。要掌握和它们有关的最值问题，必先要对它们有所必要的了解。完成下面的表格：
函数类型 | 大 致 图 象 | 函数增减性 | |||||||||||||
正比例函数 |
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一次函数 |
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反比例函数 |
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二次函数 |
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二次函数的最值问题： | |||||||||||||||
想一想：函数的增减性与函数的图象有必然的联系：函数递增，则函数的图象斜向______；函数递减，则函数的图象斜向
时，函数y的取值范围是_____________________， | |||||||||||||||||||||
即函数y有最大值___________，最小值___________。 | |||||||||||||||||||||
例2、已知一次函数 | y | ? | ?3 ? | 2 | ，当 | ? | 3 | ? | x | ? | 1 | 时，函数y的取值范围是___________________， | |||||||||
即函数y有最大值___________，最小值___________。 | |||||||||||||||||||||
例3、已知反比例函数 | y | ? | ? | 3 | 。 | ||||||||||||||||
x | |||||||||||||||||||||
（1）当 | 2 | ?x | ? | 3 | 时，则函数y有最大值________，最小值________； | ||||||||||||||||
（2）当 | x | ? | ?2 | 或 | x | ? | 2 | 时，则函数y有最大值________，最小值________。x 2 ?2 x。 | y | ||||||||||||
y | ? | ? | |||||||||||||||||||
例4、已知二次函数 | |||||||||||||||||||||
（1）用五点法在右边的直角坐标系内画出草图，并指出对称轴是直线________；
（2）当x＝_______时，则函数y有最_____值_______； | o | x | |||||||||||||||||||||||
（3）当 | 2 | ?x | ? | 3 | 时，则函数y有最大值________，则函数y有最小值______； | ||||||||||||||||||||
（4）当 | ? | 2 | ? | x | ? | 2 | 时，则函数y有最大值_________，最小值_________。 | ||||||||||||||||||
例5、（1）函数 | y | ? | ? | x | 2 | ? | 4 | x | ? | 8 | 的最____值是________； | ||||||||||||||
（2）函数 | y | ? | x | 2 | ? | 4 | x | ? | 4 | 的最____值是________。 | |||||||||||||||
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（3）函数 | y | ? | ? | x | 2 | ? | 4 | x | ? | 4 | 的最大值是________，最小值是________。 | ||||||||||||||
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例6、电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集。
（1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式；
（2）电视台每周只能为该公司提供不超过300min的播放时间，并且播放甲连续剧每集50min，播放乙连续剧每集35min，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大？并求出这个最大值。
例7、有一种梭子蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天售出，售价都是每千克20元。
⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；
⑵如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售可获最大利润（利润＝销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？
练1：某药制品车间现有A种药剂70g，B种药剂52g。计划用这两种药剂合成M、N两种规格的药品共80套。已知合成一套M型药品需要A种药剂0.6g，B种药剂0.9g，可获利45元；合成一套N型药品需要A种药剂1.1g，B种药剂0.4g，可获利50元。若设合成N型药品套数为
x，用这批药剂合成两种型号的药品所获的总利润为y元。
（1）求y（元）关于x（套）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）药制品车间合成这批药品，配制N型药品多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？
练2：在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C 在半圆上，其它两边分别为6 和8，现要建造一个内接于△ABC |
的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC＝8，BC＝6。
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
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二、有关两点之间线段最短的最值问题
例1、如图，上把牛从牧场赶到草场吃草，在某个牧场A 附近有个草场B，它们的旁边有一条小河l。在这每天傍晚又把牛从草场赶回牧场休息。傍晚把 | 定理：在同一平面内， | 片土地上放养着一群牛。饲养员每天早 | ||
_______之间线段最短。 | 牛赶回来时，饲养员每次都会让牛先去 | |||
小河边喝水。 | A |
| B | |
⑴请你设计一条把牛赶回来时的路线画在图上，要求路线最短。 | ||||
（保留作图痕迹） | ||||
⑵如果A、B两点到直线l的射影分别为M、N，且AM＝100米，
BN＝MN＝300米，求这条路线的长。
B
A
l
练1、⑴如图，菱形ABCD 中，AB＝2，∠BAD＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE＋PB 的最小值是__________。⑵如图，在△ABC 中，点A、B、C 的坐标分别为（x，0）、（0，1）和（3，2），则当△ABC 的周长最小时，x的值为_______。 |
A | E | D | P | C | B | y | A | C | x | A’ | D’ | B’ | B | C’ | A | P C |
B | A | D | C | B | ||||||||||||
O |
例2、⑴如图，如果一只蚂蚁从棱长为1的正方体ABCD-A’B’C’D’的点A爬到点C’，问至少要爬多少的路程？
⑵如图，如果一只蚂蚁从底面半径为1，高为2的圆柱的底部B点爬到棱CD的中点P，问至少要爬多少的路程？（结果保留π）
练2、如图，已知一圆锥的半径为3cm，高为 | 6 | 2 | cm。如果一只蚂蚁从圆锥的底端A 点爬到另一侧母线的中点M，问至少要爬多少的路程？ |
M
A
三、有关圆内以弦为底的三角形的最大面积问题
例1、在⊙O中，AB是⊙O的弦，点P在⊙O上。
⑴在⊙O 画出点P，要求使△PAB 的面积最大。 | A | O | B |
⑵若⊙O 的半径为5，且AB＝4，求出△PAB 的面积。 |
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1
例2、已知：AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，cos∠APB＝3。问是否存在A、P、B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由；
若存在，求出这个三角形的面积。
O
【提高训练】
1、如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）。
（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝________时，△PAB的周长最短；
（2）若C（a，0），D（a?3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝________时，四边形ABDC的周长最短；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0），N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请写出m
和n的值；若不存在，请说明理由。
y y y
OxO x O x
B B B
A A A
（1） （2） （3）
2、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以
每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方）。
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设OMN 的面积为S，直线l运动时间为t秒（ | 0 | ?t | ? | 6 | ），试求S 与t的函数表达式； |
（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？
y | l |
M
C